여기서는 위의 급수가 수렴함을 증명하겠습니다.

우선 디리클레 판정법(Dirichlet's test)을 증명합니다.

디리클레 판정법(Dirichlet's test)

이 다음을 만족하는 실수 수열이라고 하자.
1. 수열 는 유계이다.
2. 은 감소 수열이다.
3.
그러면 은 수렴한다.

- 증명 -
으로 두고 의 상계라 하자.

그러면 아벨의 보조 정리에 의해,




이기 때문에 에 대해 이고 의 함수 이 존재한다. 그러면 에 대해 이 성립하고, 따라서 은 수렴한다.


아벨의 보조 정리는 다음과 같습니다.

아벨의 보조 정리(Abel's lemma)

은 실수의 수열이다. 에 대해 으로 두자. 그러면 다음 식이 성립한다.


단, 일 때 우변의 는 0으로 생각한다. 곧, 에서 상계가 하계보다 작으면 그 값은 0이다.

- 증명 -
수학적 귀납법을 사용한다.
일 때, 양변은 로 같다.
일 때, 양변은 로 같다.
일 때,


이제 으로 둡니다.



(여기에서 와 같습니다. 위키피디아 Imaginary part 참고)
이 변함에 따라 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 원 위의 어떤 점에 대응됩니다.(극형식 참고) 따라서 위의 식은 유계임을 알 수 있습니다.
이 커짐에 따라 감소하고, 입니다.

따라서 이 수열에 디리클레 판정법을 사용하면 는 수렴합니다.

참고로, 디리클레 적분(Dirichlet integral)이란 것이 있는데, 그 가운데 하나는 다음과 같습니다.

다음은 디리클레 적분에 관한 위키피디아 웹 페이지입니다.
하이퍼링크(http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral)

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은빛냇물님이 쓴 글입니다.
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  1. 쿠마곰 2011.11.08 12:50 댓글 주소 고치기/지우기 댓글 쓰기

    디리클레의 판정법말고 다른방법으로 수렴발산 판정하는 방법은 없나요?