여기서는 위의 급수가 수렴함을 증명하겠습니다.
우선 디리클레 판정법(Dirichlet's test)을 증명합니다.
디리클레 판정법(Dirichlet's test)
과
이 다음을 만족하는 실수 수열이라고 하자.
1. 수열
는 유계이다.
2.
은 감소 수열이다.
3.
그러면
은 수렴한다.
- 증명 -
으로 두고
을
의 상계라 하자.
그러면 아벨의 보조 정리에 의해,


이기 때문에
인
에 대해
이고
인
의 함수
이 존재한다. 그러면
인
에 대해
이 성립하고, 따라서
은 수렴한다.
1. 수열
2.
3.
그러면
- 증명 -
그러면 아벨의 보조 정리에 의해,
아벨의 보조 정리는 다음과 같습니다.
아벨의 보조 정리(Abel's lemma)
은 실수의 수열이다.
에 대해
으로 두자. 그러면 다음 식이 성립한다.

단,
일 때 우변의
는 0으로 생각한다. 곧,
에서 상계가 하계보다 작으면 그 값은 0이다.
- 증명 -
수학적 귀납법을 사용한다.
일 때, 양변은
로 같다.
일 때, 양변은
로 같다.
일 때,
단,
- 증명 -
수학적 귀납법을 사용한다.
이제
(여기에서
따라서 이 수열에 디리클레 판정법을 사용하면
참고로, 디리클레 적분(Dirichlet integral)이란 것이 있는데, 그 가운데 하나는 다음과 같습니다.
다음은 디리클레 적분에 관한 위키피디아 웹 페이지입니다.
하이퍼링크(http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral)
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