디리클레 판정법과 그 증명

디리클레 판정법이란?

 디리클레 판정법(Dirichlet's Test)은 급수의 수렴성을 검사하기 위한 방법 가운데 하나입니다. 수학자인 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)의 이름을 땄습니다.

 디리클레 판정법의 내용은 다음과 같습니다.

과 이 다음을 만족하는 실수 수열이라고 하자.
1. 수열 는 유계이다.
2. 은 감소 수열이다.
3. 
그러면 은 수렴한다.

디리클레 판정법 증명

으로 두고 을 의 상계라 하자.

그러면 아벨의 보조 정리에 의해 다음이 성립한다.




이기 때문에 인 에 대해 이고 인 의 함수 이 존재한다. 그러면 인 에 대해 이 성립하고, 따라서 은 수렴한다.

교대 급수 판정법

 디리클레 판정법의 따름 정리로 교대 급수 판정법(Alternating Series Test)이 있습니다. 교대 급수 판정법은 다른 방법으로도 증명할 수 있지만, 디리클레 판정법을 이용하면 곧바로 얻을 수 있습니다.
 디리클레 판정법에서 으로 두면 입니다. 이렇게 해서 얻게 되는 결과는 교대 급수 판정법과 같습니다. 곧, 다음 조건을 만족하면 은 수렴합니다.
(1) 은 감소 수열이다.
(2) 

참고 자료

위키피디아(http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_test)

플래닛 매스(http://planetmath.org/encyclopedia/DirichletsConvergenceTest.html)